Квантиль как устойчивая мера

Квантиль как устойчивая мера используется для оценки распределения данных, особенно когда выборка содержит выбросы или экстремальные значения.

Основная идея:

1. Определение
   Квантиль уровня $q$ — это значение $x_q$, ниже которого находится доля $q$ данных:

$$x_q=\text{квантиль уровня }q,P(X\le x_q)=q$$

2. Устойчивость к выбросам
   – Среднее сильно смещается при экстремальных значениях
   – Медиана (квантиль 0.5) и другие квантильные показатели не меняются, если выбросы находятся вне основной массы данных

Пример: для выборки [1,2,3,1000]
– среднее ≈ 251, сильно завышено
– медиана = 2.5, отражает центр большинства данных

3. Сравнение с другими статистиками
   – Среднее = «чувствительная» характеристика
   – Квантиль = «устойчивая» характеристика
   – Диапазон межквартильного размаха $IQR=q3-q1$ — также устойчивая мера разброса

4. Применение
   – Оценка положения центра данных при выбросах
   – Построение коробчатых диаграмм (boxplot)
   – Сравнение распределений разных выборок, особенно с тяжёлыми хвостами

В NumPy:

import numpy as np
 
data = np.array([1, 2, 3, 1000])
median = np.quantile(data, 0.5)  # медиана
q1 = np.quantile(data, 0.25)     # первый квартиль
q3 = np.quantile(data, 0.75)     # третий квартиль

Коротко:
квантиль — устойчивая мера распределения, которая отражает характерные уровни данных и не смещается сильно при наличии выбросов.