Параметры μ и σ — это ключевые числовые характеристики нормального распределения, которые полностью определяют его форму и положение.
μ (математическое ожидание)
μ — это центр распределения.
Что означает на практике:
– точка, вокруг которой «собираются» значения
– среднее значение случайной величины
– положение пика колокола
Если μ меняется, распределение сдвигается влево или вправо, форма при этом не меняется.
σ (стандартное отклонение)
σ — это мера разброса значений вокруг μ.
Что означает на практике:
– насколько сильно значения отклоняются от среднего
– «ширина» распределения
– степень неопределённости величины
Большое σ → значения сильно разбросаны
Малое σ → значения плотно сконцентрированы около μ
Связь с дисперсией:
σ = sqrt(Var(X))
В обозначении нормального распределения используется σ²:
X ~ N(μ, σ²)
Как μ и σ влияют на распределение:
– μ задаёт положение
– σ задаёт масштаб
– форма всегда остаётся колоколообразной
Пример для интуиции:
– N(0, 1) — стандартное нормальное распределение
– N(10, 1) — тот же колокол, но сдвинут вправо
– N(0, 5²) — тот же центр, но сильно растянутый
Оценка по данным:
На практике μ и σ неизвестны и оцениваются по выборке:
import numpy as np
data = np.array([120, 130, 125, 140, 128])
mu_hat = data.mean()
sigma_hat = data.std()Важно различать:
– параметры распределения (истинные μ и σ)
– оценки по выборке (вычисленные из данных)
Коротко:
μ определяет, где находится распределение, σ — насколько широко оно растянуто; вместе они полностью задают нормальное распределение.