Нормировка на √(2n) появляется при построении матрицы Вигнера, чтобы спектр матрицы имел конечный, стабильный масштаб при росте размера n.
Контекст.
Обычно берут случайную матрицу X ∈ R^{n×n} с независимыми элементами (с нулевым средним и дисперсией 1) и симметризуют:
A = X + X.T
После этого элементы матрицы имеют порядок величины:
– вне диагонали: сумма двух независимых случайных величин → дисперсия ≈ 2
– диагональ: удвоенные элементы → дисперсия ≈ 4
Если оставить всё как есть, то при росте n:
– норма матрицы растёт
– собственные значения «разъезжаются»
– спектр масштабируется примерно как √n
Это неудобно: сравнивать матрицы разных размеров становится невозможно.
Зачем делят на √(2n):
W = (X + X.T) / sqrt(2n)
- Компенсация роста размерности
Суммарный вкладnэлементов в строке даёт масштаб √n — нормировка его убирает. - Контроль дисперсии элементов
Вне диагонали после деления:
Var = 2 / (2n) = 1 / n
Именно такой масштаб нужен, чтобы:
– вклад каждой строки был порядка 1
– собственные значения не «взрывались» с ростом n
- Невырожденный предельный спектр
С этой нормировкой приn → ∞:
– спектр сходится к полукруговому закону Вигнера
– собственные значения лежат примерно в интервале [-2, 2]
Без нормировки:
– границы спектра росли бы как √n
Интуитивно:
нормировка на √(2n) делает так, что каждая степень свободы вносит вклад порядка 1/n, и в сумме получается стабильная, масштабируемая модель.
Коротко:
деление на √(2n) нужно, чтобы спектр симметричной случайной матрицы не рос с размером, а сходился к конечному распределению (полукруг Вигнера).