Почему максимум не нормален

Максимум выборки не распределён нормально, даже если исходные элементы имеют нормальное распределение. Причина в том, что операции над экстремальными значениями меняют распределение кардинально.

Основные моменты:

1. Максимум — нелинейная функция элементов

$$M_n=\max (X_1,\dots ,X_n)$$

Ни сумма, ни среднее не используются. Центральная предельная теорема действует только для **сумм или средних**, а не для экстремальных статистик.

2. Поведение хвостов определяет распределение

• Для нормального распределения хвосты убывают экспоненциально быстро
• Вероятность экстремальных значений мала, поэтому максимум сильно смещён относительно среднего

1. Асимптотика при $n\to \infty$

• Нормализация среднего → нормальное распределение
• Нормализация максимума → распределение Гумбеля (тип I)
• То есть максимум «собирает» вероятности из верхнего хвоста, что даёт совсем другую форму

1. Характерные особенности распределения максимума

• Ассиметрия: максимум не симметричен, чаще ближе к верхней границе
• Тяжёлый хвост: вероятность больших значений выше, чем для нормали
• Сдвиг с ростом n: среднее максимума растёт с размером выборки

Пример на Python:

import numpy as np
 
samples = np.random.normal(0, 1, size=(10000, 1000))
maxima = samples.max(axis=1)  # максимум в каждой строке
 
import matplotlib.pyplot as plt
plt.hist(maxima, bins=50, density=True)
plt.show()

– Гистограмма ассиметричная, пик сдвинут вправо
– Форма не похожа на нормальное распределение

Коротко:
максимум не нормален, потому что он зависит только от крайних значений выборки, а центральная предельная теорема применима только к суммам или средним, а не к экстремальным статистикам.