При изучении матрицы Вигнера ключевой вопрос — как ведут себя статистики при росте размерности n. Здесь важно, что почти все интересные величины имеют осмысленный предел только при правильной нормировке.
Рассмотрим симметричную матрицу Вигнера:
где элементы X независимы, с нулевым средним и конечной дисперсией.
1. Элементы матрицы
– среднее остаётся 0
– дисперсия внедиагональных элементов ~ 1/n
– отдельный элемент стремится к 0 при n → ∞
Отдельные элементы «исчезают», но их совокупный вклад остаётся конечным.
2. Норма матрицы
– без нормировки росла бы как √n
– с нормировкой на √(2n)
операторная норма сходится к константе (~2)
То есть матрица не «раздувается» при росте размерности.
3. Собственные значения
– число собственных значений = n
– каждое отдельное собственное значение остаётся порядка 1
– эмпирическое распределение собственных значений сходится к полукруговому закону Вигнера
Границы спектра стабилизируются в [-2, 2].
4. След и среднее собственных значений
– след = сумма диагонали
– матожидание следа = 0
– → 0 почти наверное
Среднее собственное значение стабилизируется.
5. Квадратичные формы и моменты
– сходится к константам
– эти пределы определяются комбинаторикой паросочетаний
– именно они задают моменты полукругового распределения
6. Флуктуации
– закон больших чисел: усреднённые статистики стабилизируются
– центральная предельная теорема: флуктуации порядка 1/√n
– экстремальные собственные значения имеют нетривиальные предельные законы
Интуитивная картина:
– отдельные элементы → 0
– сумма вкладов → конечная величина
– спектральная структура стабилизируется
Коротко:
при росте n правильно нормированная матрица Вигнера демонстрирует концентрацию статистик: локальные величины исчезают, а глобальные (спектр, нормы, моменты) сходятся к детерминированным пределам.